Question

已知函数（其中且），是的反函数．

（1）已知关于的方程在上有实数解，求实数 的取值范围；

（2）当时，讨论函数的奇偶性和单调性；

（3）当，时，关于的方程有三个不同的实数解，求的取值范围．

Answer

（1）；（2）函数为奇函数，在定义域内时减函数；（3）；

【解析】

试题（1）由题可知，可将方程转化为求函数在上的值域，根据二次函数对称轴法，求得的取值范围为；

（2）若函数满足，则函数为偶函数，若函数满足，则函数为奇函数，代入-x，得到，，所以函数为奇函数．利用定义法证明单调性，判断与符号是否一致，若一致则为增函数，若符号相反，则为减函数；

（3）求出的反函数，利用换元法求出的范围，进而求得；

试题解析：（1）转化为求函数在上的值域，该函数在上递增、在上递减， 所以的最小值5，最大值9，即的取值范围为

的定义域为，定义域关于原点对称，又

，，所以函数为奇函数．

下面讨论在上函数的增减性．

任取，设，令，则，，所以

因为，，，所以．

又当时，是减函数，所以．由定义知在上函数是减函数．

又因为函数是奇函数，所以在上函数也是减函数．

（3）的反函数是，

,令

, 令，

则方程的解应满足：或

或（舍），所以．