Question

如图，在四棱锥中，是正三角形，四边形是正方形.

 

（Ⅰ）求证：；

（Ⅱ）若，求直线与平面所成角的正弦值.

Answer

（I）见解析（II）

【解析】

（Ⅰ）取的中点及的中点，连结，，．要证，即证；

（Ⅱ）过B作平面，垂足为，连接，，为直线与平面所成角.

（I）取的中点及的中点，连结，，．

由△是正三角形，四边形是正方形得，，

又平面，，

所以平面．

因为，所以平面，

又平面，所以，

又的中点是，所以．

（II）过B作平面，垂足为，连接，，

为直线与平面所成角，．

过作于，

由平面及平面，得，

又，平面，，

所以平面．

由，平面，平面，得平面．

于是点到平面的距离等于点到平面的距离等于

设，则，，

计算得，，

在等腰三角形中可算得，

所以直线与平面所成角的正弦值等于