Question

如图，在四棱锥中，底面是边长为的菱形，是等边三角形，，，分别是的中点.

（Ⅰ）求证：平面；

（Ⅱ）求直线所成角的正弦值.

Answer

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）

【解析】

连接，由已知得，，又是的中点，所以,计算可得,由，可得,可得平面;

（Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，可得OD∥BN, 由CD⊥OD，CD⊥SD，,可得,, OP⊥面SCD, 计算可得OP的值,由可得AB//面SCD, 可得直线所成角的正弦值.

解:（Ⅰ）连接，由已知得，，又是的中点，所以.

再由，所以，由，∴，，故.

（Ⅱ）取AB的中点O，连结OS，OD，由已知OD= OS= ，OD∥BN

根据（1）有CD⊥OD，CD⊥SD，

所以.又

作OP⊥SD，则OP⊥面SCD

△SOD中，OD=OS=，SD=3，

∵，∴AB//面SCD，

点A到平面SCD的距离等于点O到平面SCD的距离

设直线所成角为，

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