Question

已知函数（）在上是奇函数.

（1）求实数，的值；

（2）判断函数的单调性，并用定义证明；

（3）求满足不等式的的取值范围.

Answer

（1），（2）函数在上为增函数，证明见解析（3）

【解析】

（1）根据奇函数的性质，先求出；再由，求出；

（2）设，为任意两个实数，且，作差比较与的大小，根据函数单调性的定义，即可得出结果；

（3）根据函数奇偶性，将原不等式化为，再由函数单调性得到，分别讨论，两种情况，即可求出结果.

（1）因为函数在上是奇函数，

∴，解得.

又，∴，化简后得，即.

（2）设，为任意两个实数，且，则，

所以，

即，

因此，函数在上为增函数；

（3）因为函数为奇函数，

所以

，

又函数在上单调递增，

所以.

当时，，解得，所以；

当时，，解得，所以；

综上的取值范围为.