Question

如图，在正三棱锥中，为线段的中点，在线段上，，为定长，则该棱锥的体积的最大值为________.

Answer

【解析】

设正三棱锥的底面边长为，则该三棱锥的高为，求出底面积，并代入三棱锥的体积公式，然后利用基本不等式可求出该棱锥体积的最大值.

如下图所示，设正三棱锥的底面边长为，

由正弦定理可知，底面的外接圆半径为，

连接，过点作平面，垂足为点，过点作交于点，

，，

，

，

，则，又，，

因此，该三棱锥的体积为，

当且仅当，即当时，等号成立.

因此，该三棱锥体积的最大值为.

故答案为.