Question

有一容积为的正方体容器，在棱、和面对角线的中点各有一小孔、、，若此容器可以任意放置，则其可装水的最大容积是（    ）

A. B. C. D.

Answer

C

【解析】

分别讨论水面过直线、、时从正方体截去的几何体体积的最小值，即可得出此容器可装水的最大容积.

当水面过直线时，如下图所示，

水面截去正方体所得几何体为三棱柱，

当点在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点与点重合时，截去的几何体体积最小为；

当水面过直线时，如下图所示，

水面截去正方体所得几何体为三棱台，

当点在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，且当点在直线上时，截去的几何体为三棱柱，且体积最小为；

当水面过直线时，如下图所示，

当点在水面上方或水面上时，容器中的水不会漏，此时水面截去正方体所得几何体为，且直线过点，易知梯形的面积为正方形面积的一半，此时，几何体的体积为.

当与直线重合时，如下图所示，

此时，点在水面上方，容器不会漏水，水面截去正方体所得几何体为三棱锥，

该三棱锥的体积为.

综上可知，水面截去截去正方体所得几何体体积的最小值为.

因此，该容器可装水的最大容积是.

故选C.