Question

如图，空间直角坐标系中，四棱锥的底面是边长为的正方形，且底面在平面内，点在轴正半轴上，平面，侧棱与底面所成角为45°；

（1）若是顶点在原点，且过、两点的抛物线上的动点，试给出与满足的关系式；

（2）若是棱上的一个定点，它到平面的距离为（），写出、两点之间的距离，并求的最小值；

（3）是否存在一个实数（），使得当取得最小值时，异面直线与互相垂直？请说明理由；

Answer

（1）；（2）；（3）.

【解析】

（1）根据题意，求出点的坐标，代入抛物线方程，即可得出与的关系式；

（2）设点和的坐标，根据两点间的距离公式，利用二次函数的基本性质，即可得出函数的最小值；

（3）由（2）可知，当时，当取得最小值时，求得，由异面直线与垂直时，，代入即可求出的值.

（1）由四棱锥是底面边长为的正方形，则，

可设与所满足的关系式为，将点横坐标和竖坐标代入该方程得，

解得，因此，与所满足的关系式为；

（2）设点，，

则.

令，设，对称轴为直线.

①当时，即当时，函数在上单调递增，则，此时；

②当时，即当时，此时函数在取得最小值，即，

此时.

因此，；

（3）当时，此时点与原点重合，则直线与为相交直线，不符；

当时，则当取最小值时，，

当异面直线与垂直时，，即，化简得.

，解得.