Question

已知，且，且，函数.

（1）设，，若是奇函数，求的值；

（2）设，，判断函数在上的单调性并加以证明；

（3）设，，，函数的图象是否关于某垂直于轴的直线对称？如果是，求出该对称轴，如果不是，请说明理由.

Answer

（1）；（2）证明见解析；（3）对称轴为，理由见解析.

【解析】

（1）根据已知条件，将代入函数的解析式，得出，利用奇函数的定义，可求出实数的值；

（2）判断出函数和函数的单调性，然后利用函数单调性的运算法则，可判断出函数的单调性，然后利用函数单调性的定义加以证明；

（3）根据函数图象的对称轴为直线，得出对任意的实数恒成立，即可求出实数的值.

（1）由已知，，，由于函数为奇函数，

则对任意的恒成立，，因此，；

（2）当时，函数为增函数，函数为减函数，

又，所以，函数在上是增函数，

下面利用定义来证明出函数的单调性.

任取，则，

，，即，又，，

，，所以，，即.

因此，函数在上是增函数；

（3），若函数的图象是轴对称图形，且对称轴为直线，

则，，

即，即，

即对任意的恒成立，，即，

因此，.