Question

已知是数列的前项和，对任意，都有；

（1）若，求证：数列是等差数列，并求此时数列的通项公式；

（2）若，求证：数列是等比数列，并求此时数列的通项公式；

（3）设，若，求实数的取值范围.

Answer

（1）证明见解析，；（2）；（3）.

【解析】

（1）将代入，得，令，求出，然后令，由得出，两式作差可得出数列的递推公式，然后利用定义证明出数列是等差数列，确定该数列的首项，即可求出；

（2）令求出，然后令，由得出，两式相减得出数列的递推公式，然后利用定义证明出数列为等比数列，确定该数列的首项和公比，即可求出；

（3）结合（1）（2）中的结论，讨论、、、、，结合条件，利用数列的单调性，即可得出实数的取值范围.

（1）将代入，得，即.

当时，则有，得；

当时， 由得出，

上述两式相减得，

整理得，等式两边同时除以得，即，

所以，数列是以首项为为首项，以为公差的等差数列，

则，因此，；

（2）对任意，都有.

当时，，解得；

当时，由得出，

两式相减得，

化简得，

，

所以，数列是以为公比，以为首项的等比数列，则，因此，；

（3），且.

当时，，当时，，不满足条件；

则，可得，

可得，

显然时，数列单调递增，不满足条件，.

当时，则有显然成立；

当时，若，则数列的最大项为，

，即恒成立；

当时，数列的最大项为，

则满足条件；

当时，，数列的最大项为，不满足条件；

综上所述，实数的取值范围是.