Question

已知函数f(x)＝ .

(1)求函数f(x)的定义域和值域；

(2)设F(x)＝m＋f(x)，求函数F(x)的最大值的表达式g(m)．

Answer

（1）[，2]；（2）g(m)＝ .

【解析】

(1)由 解不等式可得函数的定义域，先求得，结合，可得，结合即可得到函数的值域； (2) 令， 可得，根据二次函数的图象和性质，利用分类讨论思想即可得到结论.

(1)要使函数f(x)有意义，需满足 得－1≤x≤1.

故函数f(x)的定义域是{x|－1≤x≤1}．

∵[f(x)]2＝2＋2 ，且0≤≤1，

∴2≤[f(x)]2≤4，又∵f(x)≥0，

∴≤f(x)≤2，

即函数f(x)的值域为[，2]．

(2)令f(x)＝t，则t2＝2＋2，

则＝t2－1，

故F(x)＝m(t2－1)＋t

＝mt2＋t－m，t∈[，2]，

令h(t)＝mt2＋t－m，

则函数h(t)的图像的对称轴方程为t＝－.

①当m>0时，－ <0，函数y＝h(t)在区间[，2]上递增，

∴g(m)＝h(2)＝m＋2.

②当m＝0时，h(t)＝t，g(m)＝2；

③当m<0时，－ >0，若0<－≤，

即m≤－时，函数y＝h(t)在区间[，2]上递减，

∴g(m)＝h()＝，

若<－≤2，即－2，即－