Question

如图，已知四边形的直角梯形，,，，为线段的中点，平面，，为线段上一点（不与端点重合）.

（Ⅰ）若，

（i）求证：平面；

（ii）求直线与平面所成的角的大小；

（Ⅱ）否存在实数满足，使得平面与平面所成的锐角为，若存在，确定的值，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）（i）见解析（ii）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）（i）先根据平行四边形性质得，再根据线面平行判定定理得结果，（ii）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得平面的法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据线面角与向量夹角关系得结果.（Ⅱ）先根据条件建立空间直角坐标系，设立各点坐标，列方程组解得两平面法向量，根据向量数量积得向量夹角，最后根据二面角与向量夹角关系得结果.

（Ⅰ）（i）证明：连接交于点，连接，，依题意易证四边形为平行四边形.

∴又∵，

∴又∵平面，平面，

∴平面.

（ii）【解析】
如图，在平行四边形中∵，，∴

以为原点建立空间直角坐标系

则，

∴

设为平面的法向量

则，得，不妨设

∴

又，∴

即直线与平面所成的角的大小为.

（Ⅱ）设

∴

∴

设为平面的法向量，

则得，，不妨设，

又平面的法向量为，

∴.

∴∴，，∴.