Question

已知函数，，.

（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；

（Ⅱ）若曲线在点处的切线与曲线切于点，求的值；

（Ⅲ）若恒成立，求的最大值.

Answer

（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

（Ⅰ） ，则.

令得，所以在上单调递增.

令得，所以在上单调递减.

（Ⅱ）因为，所以，所以的方程为.

依题意， ， .

于是与抛物线切于点，

由得.

所以 -

（Ⅲ）设,则恒成立.

易得

（1）当时，

因为，所以此时在上单调递增.

①若，则当时满足条件，此时；

②若，取且

此时，所以不恒成立．

不满足条件；

（2）当时，

令，得由，得；

由，得

所以在上单调递减，在上单调递增.

要使得“恒成立”，必须有

“当时， ”成立.

所以.则

令则

令，得由，得；

由，得所以在上单调递增，在上单调递减,

所以，当时，

从而，当时， 的最大值为.-