Question

已知函数在区间上有且只有两个不同的零点和,记,将的图象向右平移个单位长度得到函数的图象.

（1）求的解析式及a的取值范围；

（2）求在上的单调区间.

Answer

(1) .. (2) 单调递增区间为,单调递减区间为.

【解析】

（1）利用两角和的余弦公式、辅助角公式化简解析式，根据在区间上有且只有两个不同的零点和列不等式组，解不等式组求得的取值范围.求得的值，根据函数图像变换的知识求得的解析式.

（2）利用三角函数单调性的求法，求得在上的单调区间.

（1）由题意,

当时,,

若,解得.

因为在区间上有且只有两个不同的零点和,

则解得.

又,

则.

（2）由（1）可知,,

当时,,当时,,

则由正弦函数的单调性可知,

当时,函数单调递增；当时,函数单调递减.

即的单调递增区间为,单调递减区间为.