已知函数图象经过点，函数. （1）求函数的解析式；（2）是否存在实数，使得在上...

已知函数图象经过点，函数.

（1）求函数的解析式；

（2）是否存在实数，使得在上的最小值为3？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由；

（3）在（2）的条件下若存在实数，使得不等式在时能成立，求实数的取值范围.

（1）（2）存在，且（3）【解析】（1）将代入，求出；（2）由已知得，假设存在符合条件的实数，令，得出，，根据对称轴与区间的关系，分类讨论求出的最小值且等于3，求解关于的方程，即可求出结论；（3）在时能成立，，转化为对能成立，令，，则，，，令.，，，用函数的单调性定义可证在上为减函数，在上为增函数，在的最大值为求出，即可得出结论. （1）∵函数图象经过点， ∴，∴ ∴函数的解析式. （2）由（1）知，假设存在符合条件的实数. 令.∵，∴， ∴. ①当，即时，在上为增函数， ∴当时，有最小值， ∴，即，符合条件. ②当即时，在上为减函数，在上为增函数 ∴当时，有最小值. ∴，即（舍）. ③当，即时，在上为减函数 ∴时，有最小值， ∴，（舍）. ∴综上所述，存在实数使得的最小值为3，且. （3）∵时， ∴原问题转化为对能成立令，，则由（2）知， ∴ 令.∵，∴，则,设，，，在上为减函数，同理在上为增函数 ∴在的最大值为 ∵，∴在上的最大值为3 即在上的最大值为3 ∴，即的取值范围是.

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考点分析：

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设函数（为常数，且）的部分图象如图所示.

（1）求函数的解析式和单调减区间；

（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围.

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