Question

    已知函数f(x)＝log_a(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)，g(x)＝^x－1.

(1)若函数y＝f(x)的图象恒过定点A，求点A的坐标；

(2)若函数F(x)＝f(x)－g(x)的图象过点，试证明函数F(x)在x∈(1,2)上有唯一零点．

Answer

(1) 过点A(－1，－1),(2) 函数F(x)在(1,2)上有唯一零点

【解析】

试题分析:(1)由对数函数恒过点(1,0)可得,令x+2=1,则,即图象恒过A(－1，－1);(2)先求出函数F(x)的解析式,根据图象恒过点，可求出a值,代回进而确定函数在(1,2)上是增函数,根据零点存在性定理可判断出零点唯一.

试题解析:(1)∵函数y＝logax的图象恒过点(1,0)，

∴函数f(x)＝loga(x＋2)－1(a＞0，且a≠1)的图象恒过点A(－1，－1)．

(2)F(x)＝f(x)－g(x)＝loga(x＋2)－1－x－1，

∵函数F(x)的图象过点，

∴F(2)＝，即loga4－1－2－1＝，

∴a＝2.

∴F(x)＝log2(x＋2)－x－1－1.

∴函数F(x)在(1,2)上是增函数．

又∵F(1)＝log23－2＜0，F(2)＝＞0，

∴函数F(x)在(1,2)上有零点，

故函数F(x)在(1,2)上有唯一零点．