Question

对定义在[0，1]上，并且同时满足以下两个条件的函数f（x）称为G函数．

①对任意的x∈[0，1]，总有f（x）≥0；

②当x₁≥0，x₂≥0，x₁+x₂≤1时，总有f（x₁+x₂）≥f（x₁）+f（x₂）成立．已知函数g（x）=x²与h（x）=2^x﹣b是定义在[0，1]上的函数．

（1）试问函数g（x）是否为G函数？并说明理由；

（2）若函数h（x）是G函数，求实数b组成的集合．

Answer

（1）见解析；（2）b∈{1}

【解析】

（1）是，理由如下：

当x∈[0，1]时，总有g（x）=x2≥0，满足①，

当x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1时，

g（x1+x2）=（x1+x2）2=x12+x22+2x1x2≥x12+x22=g（x1）+g（x2），满足②

（2）h（x）=2x﹣b为增函数，h（x）≥h（0）=1﹣b≥0，

∴b≤1，

由h（x1+x2）≥h（x1）+h（x2），﹣b+﹣b，

即b≥1﹣（﹣1）（﹣1），

∵x1≥0，x2≥0，x1+x2≤1，

∴0≤﹣1≤1，0≤﹣1≤1，x1，x2不同时等于1

∴0≤（﹣1）（﹣1）＜1；

∴0＜1﹣（﹣1）（﹣1）≤1，

当x1=x2=0时，1﹣（﹣1）（﹣1）的最大值为1；

∴b≥1，则b=1，

综合上述：b∈{1}