Question

已知双曲线的焦点是椭圆：的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数.

（1）求椭圆的方程；

（2）设动点，在椭圆上，且，记直线在轴上的截距为，求的最大值.

Answer

(1) .

(2).

【解析】

试题（I）双曲线的焦点为，离心率为，对于椭圆来说，，由此求得和椭圆的方程.（II）设出直线的方程，联立直线的方程和椭圆的方程，利用判别式求得的一个不等关系，利用韦达定理和弦长公式，求得一个等量关系，利用表示，进而用基本不等式求得的最大值.

试题解析：

（Ⅰ）双曲线的焦点坐标为，离心率为.

因为双曲线的焦点是椭圆：（）的顶点，且椭圆与双曲线的离心率互为倒数，所以，且，解得.

故椭圆的方程为.

（Ⅱ）因为，所以直线的斜率存在.

因为直线在轴上的截距为，所以可设直线的方程为.

代入椭圆方程得 .

因为 ，

所以.

设，，

根据根与系数的关系得，.

则 .

因为，即 .

整理得.

令，则.

所以 .

等号成立的条件是，此时，满足，符合题意.

故的最大值为.