Question

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知sinC+cosC=1﹣sin，

（1）求sinC的值；

（2）若△ABC的外接圆面积为（4+）π，试求的取值范围．

Answer

(1) sinC=.

(2) [﹣，0）.

【解析】

（1）根据半角公式、降幂公式，化成关于角的表达式，进而利用平方关系求出sinC的值．

（2）由正弦定理和余弦定理，求出ab的取值范围，进而求出向量数量积的范围．

（1）△ABC中，由sinC+cosC=1﹣sin，得2sincos=2sin2﹣sin，

∵sin＞0，∴cos﹣sin=﹣，两边平方得1﹣sinC=，解得sinC=；

（2）由（1）知sin＞cos，∴＞，∴C＞；∴cosC=﹣=﹣；

由正弦定理得，c=2RsinC，∴c2=4R2sin2C=（4+）；由余弦定理得，c2=（4+）=a2+b2﹣2ab•（﹣）≥2ab（1+），∴0＜ab≤；∴•=abcosC∈[﹣，0），

即•的取值范围是[﹣，0）