Question

已知向量=（sinx，cosx），=（sin（x﹣），sinx），函数f（x）=2•，g（x）=f（）．

（1）求f（x）在[，π]上的最值，并求出相应的x的值；

（2）计算g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）的值；

（3）已知t∈R，讨论g（x）在[t，t+2]上零点的个数．

Answer

(1) f（x）最小值为 ﹣1，此时；f（x）最大值为 ，此时；

(2) .

(3) 见解析

【解析】

（1）根据向量的坐标运算，求出f（x）的表达式，再根据定义域求出最值及相应的自变量．

（2）根据三角函数表达式，求出三角函数的变化周期及函数值，代入求解．

（3）讨论在t取不同范围时，交点的个数问题．

（1）f（x）=2•=2sinxsin（x﹣）+2sinxcosx=sin2x+sin2x

=sin2x﹣cos2x+=sin（2x﹣）+，

∵x∈[，π]，∴≤2x﹣≤，

∴﹣1≤sin（2x﹣）≤，f（x）最小值为 ﹣1，f（x）最大值为 ．

（2）由（1）得，f（x）=sin（2x﹣）+．∴g（x）=f（）=sin（x﹣）+．T=4，

∴g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=g（5）+g（6）+g（7）+g（8）=…=g（2009）+g（2010）+g（2011）+g（2012）．g（1）+g（2）+g（3）+g（4）=，g（1）+g（2）+g（3）+…+g（2014）=503×+g（1）+g（2）=1006+= .

（3）g（x）在[t，t+2]上零点的个数等价于y=sin（x﹣）与y=﹣两图象交点个数．在同一直角坐标系内作出这两个数的图象．

当4k＜t＜+4k，k∈Z时，由图象可知，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象无交点，g（x）无零点

当+4k≤t＜2+4k或+4k＜t≤4+4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象1个交点，g（x）1个零点

当2+4k≤t≤+4k时，y=sin（x﹣）与y=﹣两图象2个交点，g（x）2个零点.