Question

已知定义域为的函数是奇函数.

(1)求的值；

(2)判断函数的单调性并证明；

(3)若关于的不等式在有解，求实数的取值范围.

Answer

(1)1；(2)为减函数，证明见解析；(3).

【解析】

(1)由奇函数的性质可知，，从而求解值，然后检验证即可.

(2)根据定义法证明函数的单调性，即可.

(3)根据函数为奇偶性，以及单调性，将不等式等价变形为，即，，原问题转化为在上有解，根据的单调性，求解最大值，即可.

(1)由为定义在上奇函数可知，，解得.

经检验，此时对任意的都有

故.

(2)由递增可知在上为减函数，证明如下：

对于任意实数，，不妨设

∵递增，且

∴即，，

∴,

∴

故在上为减函数.

(3)由为奇函数得：

等价于.

又由在上为减函数得：

即

因为，所以.

若使得关于的不等式在有解

则需在上有解

在区间上单调递增，在区间上单调递减

∴当时，取得最大值.

∴，解得

∴的取值范围是.