Question

已知向量，.设函数，.

(1)当时，方程有两个不等的实根，求的取值范围；

(2)若方程在上的解为，，求.

Answer

(1)；(2).

【解析】

(1)由题意可知，，令，根据方程有两个不等的实根，则需函数在上的图象与有两个交点，求解即可.

(2) 令，则函数变形为，从而等价于，根据函数的图象与性质，可知与的两交点的横坐标，满足，则，即，代入，求解即可.

(1)由题意可知，

令

当时，令，则

且在区间上单调递增，在区间上单调递减

若使得方程有两个不等的实根

则需函数与有两个交点

即，与有两个交点.

所以，即.

(2)，令，则

所以

又因为时，图象关于对称，且

时，图象关于对称，且

所以等价于

设为与的两交点的横坐标，则

，为方程的两个解

即，即，

.