Question

定义：若对定义域内任意x，都有（a为正常数），则称函数为“a距”增函数．

（1）若，(0，)，试判断是否为“1距”增函数，并说明理由；

（2）若，R是“a距”增函数，求a的取值范围；

（3）若，(﹣1，)，其中kR，且为“2距”增函数，求的最小值．

Answer

（1）见解析； （2）； （3）.

【解析】

（1）利用“1距”增函数的定义证明即可；（2）由“a距”增函数的定义得到在上恒成立，求出a的取值范围即可；（3）由为“2距”增函数可得到在恒成立，从而得到恒成立，分类讨论可得到的取值范围，再由，可讨论出的最小值．

（1）任意,,

因为,, 所以，所以，即是“1距”增函数．

（2）.

因为是“距”增函数，所以恒成立，

因为,所以在上恒成立，

所以，解得，因为,所以.

（3）因为，，且为“2距”增函数，

所以时，恒成立，

即时，恒成立，

所以，

当时，，即恒成立，

所以, 得;

当时，，

得恒成立，

所以,得,

综上所述，得.

又，

因为,所以，

当时，若，取最小值为；

当时，若，取最小值.

因为在R上是单调递增函数，

所以当，的最小值为；当时的最小值为，

即 .