Question

设是函数的图象上任意两点，且，已知点的横坐标为．

（1）求证：点的纵坐标为定值；

（2）若求；

（3）已知=，其中，为数列的前项和，若对一切都成立，试求的取值范围．

Answer

（1）详见解析；（2）；（3）（+∞）．

【解析】

试题（1）利用中点坐标公式的表示，得到，然后代入求中点的纵坐标的过程，根据对数运算法则，可以得到常数；（2）利用上一问的结果，当时，，可以采用倒序相加法，求和；（3）根据上一问的结果，代入，求，然后跟形式，采用裂项相消法求和，并反解，转化为恒成立求最值的问题．

试题解析：（1）证明：设

由知，

∴点的纵坐标为定值

（2）由（1）知

,

两式相加得：

……7分

∴

（2）当时,

=

=（

由得＜λ·

∴λ＞

∵≥4,当且仅当时等号成立,

∴

当时,

因此λ＞，即λ的取值范围是（+∞）