已知函数，且. （1）求的解析式；（2）已知的定义域为. （ⅰ）求的定义域； ...

已知函数，且.

（1）求的解析式；

（2）已知的定义域为.

（ⅰ）求的定义域；

（ⅱ）若方程有唯一实根，求实数的取值范围.

（1）（2）（ⅰ）.（ⅱ）【解析】（1）利用换元法以及，即可求解的解析式；（2）（ⅰ）解不等式，即可得出的定义域；（ⅱ）根据，的定义域得出，结合函数的解析式将方程化为，利用换元法得出，讨论的值，结合二次函数的性质即可得出实数的取值范围. 【解析】（1）令，则，所以，因为，所以，所以（2）（ⅰ）因为的定义域为，所以，解得，所以的定义域为. （ⅱ）因为，所以在恒成立，因为在单调递减，所以最大值为1，所以. 又因为，所以，化简得，令，则在有唯一实数根，令，当时，令，则，所以，得符合题意，所以；当时，，所以只需，解得，因为，所以此时无解；综上，.

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考点分析：

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海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮.一般地，早潮叫潮，晚潮叫汐.在通常情况下，船在涨潮时驶进航道，靠近码头；卸货后，在落潮时返回海洋.下面是某港口在某季节每天的时间与水深关系表：