Question

在四棱锥中，侧面⊥底面，底面为直角梯形，//，，，，为的中点．

（Ⅰ）求证：PA//平面BEF；

（Ⅱ）若PC与AB所成角为，求的长；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，求二面角F-BE-A的余弦值．

Answer

(Ⅰ)见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）二面角的余弦值为.

【解析】

（Ⅰ）连接AC交BE于O，并连接EC，FO，由题意可证得四边形ABCE为平行四边形，则，//平面.

（Ⅱ）由题意可得，且，则，故.

（Ⅲ）取中点，连，由题意可知的平面角，由几何关系计算可得二面角的余弦值为．

（Ⅰ）证明：连接AC交BE于O，并连接EC，FO，

,为中点

AE//BC，且AE=BC

四边形ABCE为平行四边形

O为AC中点

又F为AD中点

，

，

//平面

（Ⅱ）由BCDE为正方形可得

由ABCE为平行四边形可得//

为即

，

侧面底面侧面底面平面

，

，

.

（Ⅲ）取中点，连，

，，

平面，

的平面角，

又，

，

所以二面角的余弦值为．