Question

如图已知椭圆，是长轴的一个端点，弦过椭圆的中心，且，.

（Ⅰ）求椭圆的方程：

（Ⅱ）设为椭圆上异于且不重合的两点，且的平分线总是垂直于轴，是否存在实数，使得，若存在，请求出的最大值，若不存在，请说明理由.

Answer

（Ⅰ）（Ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）易知根据条件确定形状，即得C坐标，代入椭圆方程可得，（Ⅱ）即先判断是否成立，设的直线方程，与椭圆联立方程组解得坐标，根据、关系可得坐标，利用斜率坐标公式即得斜率，进而判断成立，然后根据两点间距离公式计算长度最大值，即可得的最大值.

（Ⅰ）∵， ∴

又，即，2

∴是等腰直角三角形

∵， ∴

因为点在椭圆上，∴∴

∴所求椭圆方程为

（Ⅱ）对于椭圆上两点、，∵的平分线总是垂直于轴

∴与所在直线关于对称，设且，则，

则的直线方程 ①

的直线方 ②

将①代入得 ③

∵在椭圆上，∴是方程③的一个根，∴

以替换，得到.

因为,所以∴ ∴，∴存在实数，使得

当时即时取等号，

又，