Question

已知函数，a为常数.

（1）讨论函数的单调性：

（2）若函数有两个极值点，且，求证：.

Answer

（1）见解析（2）证明见解析

【解析】

(1)求导后分子所对应的二次函数,分情况讨论的正负以及根与1的大小关系即可.

(2)由(1)的两个极值点,满足,所以,,则,将化简整理为的函数即,构造函数求导证明不等式即可.

（1）函数的定义城为.

由题意,.

（ⅰ）若,则,于是,当且仅当时,,所以在单调递减.

（ⅱ）若,由,得或,

当时,；

当时,；

所以在,单调递减,单调递增.

（ⅲ）若,则,

当时,；当时,；

所以在单调递减,单调递增

综上所述,当时,函数在上单调递减；

当时,函数在上单调递减,上单调递增；

当时,函数在上单调递减,上单调递增.

（2）由（1）知,有两个极值点当且仅当.

由于的两个极值点,满足,所以,,则,

由于.

设

.

.

当时,,所以.

所以在上单调递减,又.

所以,即.