Question

已知函数是定义域为的奇函数，当时，.

（1）求出函数在上的解析式；

（2）画出函数的图像，并写出单调区间；

（3）若与有3个交点，求实数的取值范围.

Answer

（1）（2）图见解析，在上单调递增，在上单调递减.（3）

【解析】

（1）通过①由于函数是定义域为的奇函数，则；②当时，，利用是奇函数，．求出解析式即可．

（2）利用函数的奇偶性以及二次函数的性质画出函数的图象，写出单调增区间，单调减区间．

（3）利用函数的图象，直接观察得到的范围即可．

（1）①由于函数是定义域为的奇函数，则；

②当时，，因为是奇函数，所以．

所以．

综上：．

（2）图象如下图所示：．

单调增区间： 单调减区间：．

（3）因为方程有三个不同的解，由图像可知， ，即．