Question

已知二次函数的最小值为-1，且关于的一元二次不等式的解集为.

（1）求函数的解析式；

（2）设，其中，求函数在时的最大值；

（3）若（为实数），对于任意，总存在使得成立，求实数的取值范围.

Answer

（1）；（2）；（3）

【解析】

（1）根据不等式的解集，以及二次函数的性质即可求函数 的解析式；

（2）求出的表达式，结合二次函数的图象和性质，即可求函数在时的最大值；

（3）求出函数的值域和值域，利用值域之间的关系即可得到结论．

（1）的一元二次不等式的解集为．

0和2是方程的两根， ，

又 的最小值即，

，

．

（2）

分以下情况讨论的最大值

①当时，在上是减函数，

所以；

②当时，的图象关于直线对称，

，故只需比较与的大小．

当时，即时，；

当时，即时，

；

综上所得．

（3），函数的值域为，

又在区间上单调递增，

故值域为，

对任意，总存在使得成立，

则．