Question

定义在 上的函数满足下列两个条件：（1）对任意的 恒有 成立；（2）当 时， ；记函数 ，若函数恰有两个零点，则实数 的取值范围是（    ）

A.  B.  C.  D.

Answer

C

【解析】

根据题中的条件得到函数的解析式为：f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]，又因为f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，再结合函数的图象根据题意求出参数的范围即可

因为对任意的x∈（1，+∞）恒有f（2x）＝2f（x）成立，

且当x∈（1，2]时，f（x）＝2﹣x；

f（x）＝2（2）=4﹣x，x∈（2，4]，

f（x）＝4（2）=8﹣x，x∈（4，8]，

…

所以f（x）＝﹣x+2b，x∈（b，2b]．（b取1，2，4…）

由题意得f（x）＝k（x﹣1）的函数图象是过定点（1，0）的直线，

如图所示只需过（1，0）的直线与线段AB相交即可（可以与B点重合但不能与A点重合）kPA2，kPB，

所以可得k的范围为

故选：C．