Question

已知数列的前项和为，且满足.

（1）证明：数列为等比数列，并求数列的通项公式.

（2）若，数列的前项和为，求满足不等式的的最小值.

Answer

（1）证明见解析，，（2）

【解析】

（1）由，得（），两式相减可得，变形为即可证明数列为等比数列，根据等比数列的通项公式可得，从而可得.

（2）利用错位相减法求得，将不等式化为，设，利用数列的单调性可求得结果.

（1）证明：当时，，∴.

∵，，

∴当时，，

两式相减得：，即，

∴，

∴数列为以2为首项，2为公比的等比数列，

∴，

则，；

（2）【解析】
∵，

∴，

∴，

两式相减得：，

∴，

由，得，

设，

∵，

∴数列为递增数列，

因为，，

∴满足不等式的的最小值为6.