Question

正方体的棱长为1，，为线段，上的动点，过点，，的平面截该正方体所得截面记为，则下列命题：①当且时，为等腰梯形；②当，分别为，的中点时，平面；③当，分别为，的中点时，异面直线与成角；④无论在线段任何位置，恒有平面平面；其中正确的个数是（    ）

A.1 B.2 C.3 D.4

Answer

D

【解析】

①当，与重合，过的平面为平面，如图1，根据面面平行的性质定理，可得截面与平面交线，在上，满足，进而证明，可得截面是等腰梯形，所以①正确；

②当，分别为，的中点时，如图2，连，可证，由线面平行的判定定理，可得②正确；

③由②，或补角为直线与成角，而为正三角形，，所以③正确；

④如图3，在正方体中可证，进而平面，所以

平面平面，而平面即为平面，所以④正确.

①当，与重合，过的平面为平面，

如图1，设平面与平面交于，在 上，

连，则平面截该正方体所得截面为四边形，

正方体中，平面平面，

截面分别与平面平面交于，

所以，因为四边形是平行四边形，，

所以，因为正方体，有，

所以，，所以，

，在线段上，不与端点重合，

所以，所以，

截面是等腰梯形，所以①正确；

②当，分别为，的中点时，如图2，连，

则，在正方体中，所以，

平面，平面，

所以平面，所以②正确；

③由②可得，或补角为直线与成角，

因为正方体中，，所以，

即直线与成角为，所以③正确；

④如图3，连接,在正方体中，平面，

平面，

所以平面平面，所以，

同理，，所以平面，

平面，平面平面，

点在上，平面即为平面，所以④正确.

故选:D.