Question

在平面直角坐标系中，已知圆与轴交于，两点，圆过，两点且与直线相切.

（1）求圆的方程；

（2）若直线与圆，圆的交点分别为点，.求证：以线段为直径的圆恒过点.

Answer

（1）；（2）证明见解析

【解析】

（1）由已知求出坐标，设圆的方程：，切线过原点，得出为切点，的斜率为，结合两点坐标，即可求出方程；

（2）根据条件，，要证以线段为直径的圆恒过点,只需证，即证，直线分别与圆方程联立，求出点坐标，进而求出，即可得证.

解析：（1）令，

得

设圆的方程：

将点代入，

得，故

由题意知，

得，

故圆的方程为.

（2）因直线与圆、圆都有两不同交点，

易知，.

由，

整理得，

得或（舍去），

得

由，

整理得，

解得或（舍去），

得

因，有，

故以线段为直径的圆恒过点.