Question

已知函数

（1）若，求的单调区间；

（2）若的最大值为3，求实数的值；

（3）若的值域是，求实数的值

Answer

（1）函数的单调递减区间是，单调递增区间是（2）（3）0

【解析】

（1）当时，，令，结合指数函数的单调性，二次函数的单调性和复合函数的单调性，可得的单调区间；

（2）令，则，由于的最大值为3，所以的最小值为，进而可得实数的值；

（3）由指数函数的性质可知，要使的值域为，应使的值域为，进而可求得的取值范围.

（1）当时，，

令，

由于在上单调递减，在上单调递增，

而在上为减函数，

所以在上单调递增，在上单调递减，

即函数的单调递减区间是，单调递增区间是。

（2）令，则，

为的最大值为3，所以的最小值为，

当时，，无最大值；

当时，有，解得，

所以当的最大值为3时，实数的值为1。

（3）由指数函数的性质，知要使的值域为，

应使的值域为。

当时，，值域为，符合题意；

当时，为二次函数，其值域不为，不符合题意。

故当的值域是时，实数的值为0．