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点、、、在同一个球的球面上,,.若四面体的体积的最大值为,则这个球的表面积为( ...

在同一个球的球面上,.若四面体的体积的最大值为,则这个球的表面积为(   

A. B. C. D.

 

D 【解析】 根据几何体的特征,小圆的圆心为,若四面体的体积取最大值,由于底面积不变,高最大时体积最大,可得与面垂直时体积最大,从而求出球的半径,即可求出球的表面积. 根据题意知,、、三点均在球心的表面上,且,, ,则的外接圆半径为, 的面积为, 小圆的圆心为,若四面体的体积取最大值,由于底面积不变,高最大时体积最大,所以,当与面垂直时体积最大,最大值为,, 设球的半径为,则在直角中,,即, 解得,因此,球的表面积为. 故选:D.
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