Question

正四棱锥中，，分别为，的中点.

（1）求证：平面；

（2）若，求异面直线和所成角的余弦值.

Answer

（1）见解析（2）

【解析】

（1）取的中点，连接、，可得四边形为平行四边形，得到，由线面平行的判定可得平面；

（2）连接交于，则为的中点，结合为的中点，得，可得（或其补角）为异面直线和所成角，在正四棱锥中，由为的中点，且，可得，设，求解三角形可得异面直线和所成角的余弦值．

（1）取的中点，连接、，

是的中点，且，

在正四棱锥中，底面为正方形，且，

又为的中点，且，

且，则四边形为平行四边形，，

平面，平面，平面；

（2）连接交于，则为的中点，

又为的中点，，

又，（或其补角）为异面直线和所成角，

在正四棱锥中，由为的中点，且，，

设，则，，

，则，

因此，异面直线和所成角的余弦值为.