Question

如图，等腰梯形中，，，，取中点，连接，把三角形沿折起，使得点在底面上的射影落在上，设为的中点.

（1）求证：平面；

（2）求二面角的余弦值.

Answer

（1）见解析；（2）.

【解析】

（1）取的中点，取的中点，连接、、、、，可知、均为等边三角形，可证明出平面，从而得出，再证明出四边形为平行四边形，可得出，由等腰三角形三线合一的性质可得，从而可得出，再利用线面垂直的判定定理可证明出平面；

（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，证明出平面，可得知二面角的平面角为，计算出直角三角形三边边长，即可求出，即为所求.

（1）如下图所示，取的中点，取的中点，连接、、、、，

在等腰梯形中，，，，

为的中点，所以，，

又，则，为等边三角形，

同理可知为等边三角形，为的中点，，，

，平面，平面，，

由于和是边长相等的等边三角形，且为的中点，，

为的中点，.

在等腰梯形中，且，则四边形为平行四边形，

、分别为、的中点，且，

为的中点，且，

则四边形为平行四边形，，，

，平面；

（2）过点在平面内作，垂足为点，连接，

由于点在平面内的射影点在上，则平面平面，

由（1）知，，又平面平面，平面，

平面，平面，，

，，平面，

平面，，所以，二面角的平面角为，

在中，，，，，，

因此，二面角的余弦值为.