Question

已知三棱柱中,三个侧面均为矩形,底面为等腰直角三角形, ,点为棱的中点,点在棱上运动.

（1）求证；

（2）当点运动到某一位置时，恰好使二面角的平面角的余弦值为，求点到平面的距离；

（3）在（2）的条件下，试确定线段上是否存在一点，使得平面？若存在，确定其位置；若不存在，说明理由.

Answer

（1）见解析；（2）；（3）存在，为中点.

【解析】

（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），要证A1C⊥AE，可证,只需证明，利用向量的数量积运算即可证明；（2）分别求出平面EA1D、平面A1DB的一个法向量，由两法向量夹角余弦值的绝对值等于，解得m值，由此可得答案；（3）在（2）的条件下，设F（x，y，0），可知与平面A1DB的一个法向量平行，由此可求出点F坐标，进而求出||，即得答案.

（1）以CB为x轴，CA为y轴，CC1为z轴，C为原点建立坐标系，设E（m，0，2），

C（0，0，0），A（0，2，0），A1（0，2，2），D（0，0，1），B（2，0，0），

＝（0，﹣2，﹣2），＝（m，﹣2，2），

因为＝0+（﹣2）×（﹣2）﹣2×2＝0，

所以⊥，即A1C⊥AE；

（2）＝（m，0，1），＝（0，2，1），

设＝（x，y，z）为平面EA1D的一个法向量，

则 即 ，取＝（2，m，﹣2m），

＝（2，0，﹣1），设＝（x，y，z）为平面A1DB的一个法向量，

则，即，取＝（1，﹣1，2），

由二面角E﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为 ，得 ||＝，解得m＝1，

平面A1DB的一个法向量＝（1，﹣1，2），根据点E到面的距离为：.

（3）由（2）知E（1，0，2），且＝（1，﹣1，2）为平面A1DB的一个法向量，

设F（x，y，0），则＝（x﹣1，y，﹣2），且，所以x﹣1＝﹣1，y＝1，解得x＝0，y＝1，

所以＝（﹣1，1，﹣2），＝ ＝，

故EF的长度为，此时点F（0，1，0）．存在F点为AC中点.