Question

如图，已知，，分别为的三个内角，，的对边，且，点是的中点，，交于点，且，

（1）求角；

（2）若点是外一点，且，求四边形面积的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）通过正弦定理实现边角转化，再应用余弦定理，可求出；（2）根据已知条件可以确定，并求出它们的表达式，在中，运用外角与内角的关系、正弦定理，可求出，的大小，最后求出的面积，在中，利用余弦定理，基本不等式可求，进而根据三角形的面积公式即可计算得解．

（1），

由，得：，

由余弦定理得：，

，

（2）连接，如下图：是的中点，，

，

，

在中，由正弦定理得，

，

，

，

，

，

，，

，，

，

，，

在中，由余弦定理可得：，解得，

当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

，当且仅当时等号成立，

四边形面积的最大值为．