Question

为迎接夏季旅游旺季的到来，少林寺单独设置了一个专门安排游客住宿的客栈，寺庙的工作人员发现为游客准备的一些食物有些月份剩余不少，浪费很严重，为了控制经营成本，减少浪费，就想适时调整投入．为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数会发生周期性的变化，并且有以下规律：

①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；

②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400人；

③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．

（1）试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数y与月x份之间的关系；

（2）请问哪几个月份要准备400份以上的食物？

Answer

（1）f（x）=200sin（x）+300；（2）只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．

【解析】

试题（1）根据①，可知函数的周期是12；根据②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400；根据③可知，f（x）在[2，8]上单调递增，且f（2）=100，由此可得函数解析式；

（2）由条件知，200sin（x）+300≥400，结合x∈N*，1≤x≤12，即可得到结论．

【解析】
（1）设该函数为f（x）=Asin（ωx+φ）+B（A＞0，ω＞0，0＜|φ|＜π）

根据①，可知函数的周期是12，∴=12，∴ω=；

根据②可知，f（2）最小，f（8）最大，且f（8）﹣f（2）=400，故该函数的振幅为200；

根据③可知，f（x）在[2，8]上单调递增，且f（2）=100，∴f（8）=500

∴，∴

∵f（2）最小，f（8）最大，

∴sin（2×+φ）=﹣1，sin（8×+φ）=1，

∵0＜|φ|＜π，

∴φ=

∴f（x）=200sin（x）+300；

（2）由条件知，200sin（x）+300≥400，化简可得sin（x），

∴2kπ+≤x≤2kπ+，k∈Z

∴12k+6≤x≤12k+10，k∈Z

∵x∈N*，1≤x≤12

∴x=6，7，8，9，10

∴只有6，7，8，9，10五个月份要准备400份以上的食物．