Question

如图，现有一块半径为2m，圆心角为的扇形铁皮，欲从其中裁剪出一块内接五边形，使点在弧上，点分别在半径和上，四边形是矩形，点在弧上，点在线段上，四边形是直角梯形．现有如下裁剪方案：先使矩形的面积达到最大，在此前提下，再使直角梯形的面积也达到最大.

（1）设,当矩形的面积最大时，求的值；

（2）求按这种裁剪方法的原材料利用率．

Answer

（1）；（2）

【解析】

（1）设，，则，从而，由此可求当矩形PMON的面积最大时，的值；（2）过Q点作，垂足为S，连接OQ，设，从而可得，利用换元法，可得，从而可求直角梯形PQRM的面积的最大值，由此可求原材料利用率．

（1）先求矩形面积的最大值：

设，，则，

，∴当，即时，

此时，，.

（2）过Q点作垂足为S，设

在中，有，

则，

∴

令，∵，∴，

此时，则，

当时，的最大值为

∴方案裁剪出内接五边形面积最大值为，即利用率