Question

已知是定义在R上的奇函数，且当时，.

（1）求函数的解析式并判断的单调性（不需要证明）.

（2）当时，不等式恒成立，求实数a的取值范围.

Answer

（1）；在R上为单调减函数（2）

【解析】

（1）根据题意求出时的解析式，用分段函数写出的解析式，并判断是定义域R上的减函数；

（2）根据函数的单调性与奇偶性把不等式化为，再利用换元法和构造函数求出实数a的取值范围.

【解析】
（1）函数是定义在R上的奇函数，

当时，；

所以当时，，则；

又，

所以，

且时，，

所以函数；

又时为单调增函数，时为单调减函数，

且在定义域R上是连续的，是单调减函数；

（2）不等式恒成立，等价于恒成立，

又是定义在R上的奇函数，则不等式可化为，

又是定义在R上的单调减函数，所以，

即；

当时，设，则，

原不等式化为；

设，

则，

即，

解得，

所以实数a的取值范围是.