Question

如图，在三棱锥P-ABC中，，平面平面ABC，点D在线段BC上，且，E，F分别为线段PC，AB的中点，点G是PD上的动点.

（1）证明：.

（2）当平面PAC时，求直线PA与平面EFG所成角的正弦值.

Answer

（1）证明见解析；（2）

【解析】

(1) 连接PF,先证明平面PDF,再证明即可.

(2) F为坐标原点,以FH.FA,FP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系F-xyz,再根据空间向量中直线与平面夹角的方法求解即可.

（1）证明：连接PF,因为,F为AB的中点,

所以.

又平面平面ABC,平面平面,

所以平面ABC,从而.

设BC的中点H,因为,DF是的中位线,

所以.

同理可知,所以

所以平面PDF

因为平面PDF,所以

（2）【解析】
连接GH,因为FH是的中位线,所以.

因为平面PAC,平面PAC,所以平面PAC.

又因为平面PAC, ,所以平面平面PAC

因为平面PBC分别与平面FGH与PAC相交于GH,PC,

所以,且

易知FH,FA,FP两两垂直,以F为坐标原点,以FH.FA,FP所在直线为坐标轴建立空间直角坐标系F-xyz,如图所示,

则.

设平面EFG的法向量为,

由得,取,得

又,设PA与平面EFG所成角为

则