Question

已知椭圆，圆心为坐标原点的单位圆O在C的内部，且与C有且仅有两个公共点，直线与C只有一个公共点.

（1）求C的标准方程；

（2）设不垂直于坐标轴的动直线l过椭圆C的左焦点F，直线l与C交于A，B两点，且弦AB的中垂线交x轴于点P，试求的面积的最大值.

Answer

（1）；（2）

【解析】

(1)根据单位圆O在C的内部,且与C有且仅有两个公共点可得,再联立与C求得二次方程令判别式等于0即可求得.

(2) 由题意设直线l的方程为,联立直线l与椭圆的方程,再利用韦达定理与面积公式求得关于的面积的表达式,最后利用换元求导分析函数的最值即可.

【解析】
（1）依题意,得

将代入椭圆的方程,得

由,解得

所以椭圆的标准方程为

（2）由（1）可得左焦点

由题意设直线l的方程为,

代入椭圆方程,得

设,则

所以,AB的中点为

设点,则,解得

故

令,则,且

设,则

所以,即的面积的最大值为