Question

已知函数，其中.

（1）讨论函数的单调性；

（2）设，，若存在，对任意的实数，恒有成立，求的最大值。

Answer

（1）在上单调递增；在上单调递减；（2）

【解析】

（1）先对函数求导，得到，分别讨论和，利用导数的方法，即可得出单调性；

（2）先由，令，将问题转化为求的最小值即可，对求导，用导数的方法得出其单调性，进而可得出其最小值，即可求出结果.

【解析】
（1）由题意可得，，

①当时，恒成立，即在上单调递增；

②当时，由；

由；

即在上单调递增；在上单调递减；

（2）由，

因此，存在，满足即可，

令，

则，只需求的最小值即可；

又，

因函数在恒单调递增，

又，，所以恒成立，

即在恒单调递减，

所以，即.