Question

已知函数．

（1）若，解方程；

（2）是否存在实数，使得在上是奇函数或是偶函数？若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．

Answer

（1）或；

（2）当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数,理由见解析

【解析】

（1）将代入函数的解析式，再对绝对值内的数进行分类讨论得，再利用分段函数的解析式解方程得的集合；

（2）写出，易得，再对结论成立进行假设，从而可得或，求出的值再进行验证是否成立.

（1）当时，，故有，

，

当时，由，有，解得或

当时，恒成立

方程的解集为或.

（2）

，

若存在实数，使得在上是奇函数或是偶函数，

则必有，，或

①若，则，

对恒成立，

为偶函数

②若，则

，，且

为非奇非偶函数

当时，为偶函数；当时，为非奇非偶函数