Question

设，若，则称为集合的元“好集”；

（1）写出实数集的一个二元“好集”；

（2）问：正整数集上是否存在二元“好集”？说明理由；

（3）求出正整数集上的所有三元“好集”；

Answer

（1）

（2）不存在，理由见解析

（3）

【解析】

（1）根据二元“好集”的定义可得，举出方程组的一组解即可；

（2）利用反证法，假设为正整数集上的一个二元“好集”，不妨设，从而得出矛盾，即可证明结论；

（3）假设为正整数集上的一个三元“好集”，不妨设（其中、 ），利用，即可求得答案.

（1）假设为实数集的一个二元“好集”

，

如等符合上式的解均可.

（2）反证法：假设为正整数集上的一个二元“好集”，

不妨设，

，且，，，

与矛盾，

假设不成立，

即不存在正整数集上的二元“好集”.

（3）假设为正整数集上的一个三元“好集”，

不妨设（其中、 ），

，

，

满足的正整数只有，，

代入，得，

正整数集上的所有三元“好集”为.