Question

在等腰直角三角形中，，点分别为的中点，如图1.将沿折起，使点A到达点P的位置，且平面平面，连接，如图2.

（1）若F为的中点，求证：平面；

（2）当三棱锥的体积为时，求点B到平面的距离.

Answer

（1）证明见解析（2）

【解析】

（1）利用三角形中位线定理，结合，可以得到，根据图形的翻折，线面垂直的判定定理可以证明出平面，利用线面垂直的性质定理可得，再结合等腰三角形的性质，根据线面垂直的判定定理即可证明平面；

（2）设.根据题中面面垂直可以得到线面垂直，根据已知题目中的三棱锥的体积，可以求的值，最后利用三棱锥的等积性，求出点B到平面的距离.

（1）因为D，E分别为的中点，

所以，

又，

所以，即.

而，所以，，又，，平面，

所以平面.

而平面，所以.

因为，F是的中点，

所以，而，，平面，

所以平面.

（2）【解析】
设.

因为平面平面，平面平面，平面，，

所以平面，

则三棱锥的体积，解得，

所以，.

易得，，则

在中，，，

设M是的中点，则且.

设点B到平面的距离为h.

因为，

而，所以.

故点B到平面的距离为.