Question

已知圆.

（1）若圆C上恰有三个点到直线l（斜率存在）的距离为1，且l在两坐标轴上的截距相等，求l的方程.

（2）点P为直线上的动点，点M为圆C上的动点.

（i）若直线与圆C相切，求的最小值；

（ii）若O为坐标原点，求的最小值.

Answer

（1）或或（2）（i）（ii）

【解析】

（1）把圆的一般方程化为标准方程，求出圆心的坐标和半径.根据l在两坐标轴上的截距是否为零，进行分类讨论，结合点到直线距离距离求解即可；

（2）（i）利用切线的性质求出的表达式为，结合圆的性质求出的最小值即可；

（ii）记O关于直线的对称点为，利用中垂直线的性质求出点的坐标，根据平面几何的性质可知当点共线时，最小，最后求出最小值即可.

（1）圆C的标准方程为，

则C的圆心为，半径为2.

因为圆C上恰有三个点到直线l的距离为1，

所以圆心到直线l的距离为1.

①当直线l在两坐标轴上的截距为零且斜率存在时，

设直线l的方程为，

所以圆心到直线l的距离为，即，

所以.

②当直线l在两坐标轴上的截距不为零时，

设直线l的方程为，

所以圆心到直线l的距离为，即，解得或.

所以或.

综上所述：直线l的方程为或或.

（2）（i）因为直线与圆C相切，所以，

所以当最小时最小，

而当与直线垂直时，最小，即，

故.

（ii）记O关于直线的对称点为，

由，得，即.

因为，

所以当点共线时，最小.

故.