Question

在如图所示的几何体中，四边形是正方形，四边形是梯形，∥，，平面平面，且.

（Ⅰ）求证：∥平面；

（Ⅱ）求二面角的大小；

（Ⅲ）已知点在棱上，且异面直线与所成角的余弦值为，求线段的长．

Answer

（1）证明见解析；（2）；（3）.

【解析】

先利用线面垂直的性质证明直线平面，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立空间直角坐标系，（1）可得是平面的一个法向量，求得，利用，且直线平面可得结果；（2）利用向量垂直数量积为0，列方程组分别求出平面与平面的法向量，由空间向量夹角余弦公式可得结果；（3）设，则，，

由，可得， 解方程可得结果.

（1）平面平面，

平面平面 ，

，，

直线平面.

由题意，以点为原点，分别以的方向为轴，轴，轴的正向建立如图空间直角坐标系，

则可得：，

.

依题意，易证：是平面的一个法向量，

又， ，

又直线平面， .

（2） .

设为平面的法向量，

则，即.

不妨设，可得.

设为平面的法向量，

又 ，

则，即.

不妨设，可得，

，

又二面角为钝二面角，

二面角的大小为.

（3）设，则，又，

又，即，

，解得或（舍去）.

故所求线段的长为.